Somme de vecteurs de l'espace

Propriété

Soit \(\overrightarrow{u}\)   et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de l'espace. La translation de vecteur  \(\overrightarrow{u}\)  suivie de la translation de vecteur \(\overrightarrow{v}\) est une translation.

Définition

Soit \(\overrightarrow{u}\)   et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de l'espace. La translation de vecteur  \(\overrightarrow{u}\)  suivie de la translation de vecteur \(\overrightarrow{v}\) est la translation de vecteur \(\overrightarrow{u}​+\overrightarrow{v}​\) .

Propriété  Relation de Chasles

Soit  \(\overrightarrow{u}\)  et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de l'espace.
Soit  \(\text A\) , \(\text B\) et \(\text C\) trois points de l'espace tels que \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text A\text B}\)   et \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\text B\text C}\) .
Comme le vecteur \(\overrightarrow{\text A\text C}\) est un représentant du vecteur \(\overrightarrow{u}​+\overrightarrow{v}​\) , on obtient l'égalité suivante appelée relation de Chasles :  \(\overrightarrow{\text A\text C}=\overrightarrow{\text A\text B}+\overrightarrow{\text B\text C}\) .

Propriété Règle du parallélogramme

Soit \(\overrightarrow{u}\)   et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de l'espace.
Soit  \(\text A\) , \(\text B\) et \(\text C\) trois points de l'espace tels que \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text A\text B}\)   et \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\text A\text C}\) .
Soit \(\text D\) le point de l'espace tel que \(\text A\text B\text D\text C\) est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Alors, le vecteur \(\overrightarrow{\text A\text D}\) est un représentant du vecteur \(\overrightarrow{u}​+\overrightarrow{v}​\) .

Propriété

Soit \(\overrightarrow{u}\) , \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) trois vecteurs de l'espace. Alors on a :

• \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\)  (commutativité) ;
  
• \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u}\)  (élément neutre) ;
  
• \((\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\)  (associativité).